Yeni ve devrimci geometrinin, önemi daha sonra anlaşılan öncülerinden biri olan Rus matematikçi. Öklit'in paralellik aksiyomunun bağımsız bir aksiyom mu olduğu, yoksa diğer aksiyomlardan türetilebilir mi olduğu sorusu, matematikçileri 2000 yıl boyunca uğraştırmıştı. Paralellik aksiyomunun bağımsız olduğuna, yani seçilen başka bir aksiyoma dayanan başka geometrilerin de mantıksal olarak olanaklı olduğuna ilk inanan kişi Gauss'tu. Gauss bu konudaki düşüncelerini hiç yayımlamadı. 2000 yıllık geleneğe ilk olarak açıkça meydan okuyan kişiler Rus Lobachevski ve Macar Bolyai'dir. İlk makaleyi Lobachevski yazdı; ama Gauss'un ilgilenmesine karşın çok az ilgi gördü. Macar Bolyai, başka bir aksiyoma dayanan bir geometri kurmanın olanaklı olduğunu buldu. Bu yeni aksiyoma göre düzlemdeki bir noktadan geçen ve düzlemdeki herhangi bir doğruyu kesmeyen sonsuz sayıda doğru çizilebilirdi. Gauss'un adını verdiği öklit-dışı geometri, birkaç on yıl boyunca matematiğin anlaşılması güç bir alanı olarak kaldı. Yaygın Kantçı felsefe, onu ciddiye almayı reddettiği için çoğu matematikçi onu yok saydı. Gerçek önemini kavrayan ilk matematikçi Riemann'dır. Riemann'ın genel monifoldlar kuramı yalnızca var olan Öklit-dışı geometrilere tümüyle izin vermekle kalmayıp, Riemann geometrileri denilen birçok başka geometriyi de kullandı. Ama bu kuramların önemi 1870 sonrası gelen kuşakça anlaşılabildi.