Hamilton'un başlattığı eşleşimlerin diferansiyel geometrisini geliştirdi. Bu çalışma sırasında bulduğu 16 düğüm noktalı dörtlenik (kuartik) yüzey, onun adını almıştır. Ünü, büyük ölçüde cebirsel kesirlilik tanım kümelerinde ilk kez kullandığı "ideal" sayılara dayanır. Kummer'in "ideal" çarpanları, genel bir kesirlilik tanım kümesinde sayıların, tek bir biçimde asal çarpanlarına ayrıştırılmasını sağladı. Bu buluş, cebirsel sayıların aritmetiğinde büyük ilerlemelere yol açtı.