Sıralama (Eşitsizlik)
A. TANIM
a, b ye eşit değilse, “a ¹ b” biçiminde yazılır.
a ¹ b ise bu durumda;
a > b, “a büyüktür b den” ya da
a < b, “a küçüktür b den” olur .
Gerçel (reel) sayı ekseninde herhangi bir sayının sağında bulunan sayılar daima o sayıdan büyük, solunda bulunan sayılar da o sayıdan küçüktür.
x > y, x ³ y, x < y ve x £ y şeklindeki ifadelere eşitsizlik denir.
B. SIRALAMANIN ÖZELİKLERİ
x, y, a, b reel (gerçel) sayılar olmak üzere,
Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir.
• a < b ise a + c < b + c dir.
• a < b ise a – c < b – c dir .
Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir reel sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü aynı kalır.
• a < b ve c > 0 ise a × c < b × c dir.
• a < b ve c > 0 ise a/c < b/c dir.
Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir reel sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
• a < b ve c < 0 ise a × c > b × c dir.
• a < b ve c < 0 ise a/c > b/c dir.
Eşitsizliklerde geçişme özeliği vardır.
(x < y ve y < z) ise x < z dir.
Aynı yönlü eşitsizlikler, taraf tarafa toplanabilir; fakat çıkarılamaz.
(x < y ve a < b) ise x + a < y + b dir.
x ile y aynı işaretli olmak üzere,
x < y ise 1/x >1/y
x ile y zıt işaretli olmak üzere,
x<0 1/x< 0 < 1 / y dir.
n ∈ N+ ve 0 < a < b ise an < bn dir.
n ∈ N+ ve a < b < 0 olsun.
n çift sayma sayısı ise an > bn dir.
n tek sayma sayısı ise an < bn dir.
n ∈ Z+ – {1} olmak üzere,
• a > 1 ise, an > a dır .
• 0 < a < 1 ise, an < a dır.
• – 1 < a < 0 ise, an > a dır.
• a<-1 ise , a2n > a veya a2n-1< a dır
(0 < a < b ve 0 < c < d) ise,
0 < a × c < b × d
f(x) < g(x) < h(x) eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi;
f(x) < g(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi ile g(x) < h(x) eşitsizliğinin çözüm kümesinin kesişimidir.
• a × b < 0 ise a ile b ters işaretlidir.
• a × b > 0 ise a ile b aynı işaretlidir.
C. REEL (GERÇEL) SAYI ARALIKLARI
1. Kapalı Aralık
a ile b reel sayılar ve a < b olsun.
a ve b sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm reel sayıları içine alan küme,
[a, b] veya a £ x £ b , x ∈ R şeklinde gösterilir ve bu şekilde tanımlanan aralıklara kapalı aralık denir.
2. Açık Aralık
a, b ∈ R ve a < b olsun.
[a, b] kapalı aralığının uç noktalarının ikisi de bu aralıktan çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa açık aralık denir.
Açık aralık, x∈ R olmak üzere, (a, b) biçiminde ya da a < x < b biçiminde gösterilir .
3. Yarı Açık Aralık
a, b ∈ R ve a < b olsun.
[a, b] kapalı aralığının uç noktalarından biri çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa yarı açık aralık denir.
[a, b] kapalı aralığından b noktası çıkarılırsa [a, b) veya x ∈ R olmak üzere,
a £ x < b yarı açık aralığı elde edilir.
[a, b] kapalı aralığından a noktası çıkarılırsa (a, b] veya x ∈ R olmak üzere, a < x £ b yarı açık aralığı elde edilir.
[a, b] aralığının uzunluğu, b – a dır.
a
[a,c] = [a,b) ∪[b,c]
= [a,b] ∪(b,c]
= [a,b] ∪[b,c]
a, b ye eşit değilse, “a ¹ b” biçiminde yazılır.
a ¹ b ise bu durumda;
a > b, “a büyüktür b den” ya da
a < b, “a küçüktür b den” olur .
Gerçel (reel) sayı ekseninde herhangi bir sayının sağında bulunan sayılar daima o sayıdan büyük, solunda bulunan sayılar da o sayıdan küçüktür.
x > y, x ³ y, x < y ve x £ y şeklindeki ifadelere eşitsizlik denir.
B. SIRALAMANIN ÖZELİKLERİ
x, y, a, b reel (gerçel) sayılar olmak üzere,
Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir.
• a < b ise a + c < b + c dir.
• a < b ise a – c < b – c dir .
Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir reel sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü aynı kalır.
• a < b ve c > 0 ise a × c < b × c dir.
• a < b ve c > 0 ise a/c < b/c dir.
Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir reel sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
• a < b ve c < 0 ise a × c > b × c dir.
• a < b ve c < 0 ise a/c > b/c dir.
Eşitsizliklerde geçişme özeliği vardır.
(x < y ve y < z) ise x < z dir.
Aynı yönlü eşitsizlikler, taraf tarafa toplanabilir; fakat çıkarılamaz.
(x < y ve a < b) ise x + a < y + b dir.
x ile y aynı işaretli olmak üzere,
x < y ise 1/x >1/y
x ile y zıt işaretli olmak üzere,
x<0 1/x< 0 < 1 / y dir.
n ∈ N+ ve 0 < a < b ise an < bn dir.
n ∈ N+ ve a < b < 0 olsun.
n çift sayma sayısı ise an > bn dir.
n tek sayma sayısı ise an < bn dir.
n ∈ Z+ – {1} olmak üzere,
• a > 1 ise, an > a dır .
• 0 < a < 1 ise, an < a dır.
• – 1 < a < 0 ise, an > a dır.
• a<-1 ise , a2n > a veya a2n-1< a dır
(0 < a < b ve 0 < c < d) ise,
0 < a × c < b × d
f(x) < g(x) < h(x) eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi;
f(x) < g(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi ile g(x) < h(x) eşitsizliğinin çözüm kümesinin kesişimidir.
• a × b < 0 ise a ile b ters işaretlidir.
• a × b > 0 ise a ile b aynı işaretlidir.
C. REEL (GERÇEL) SAYI ARALIKLARI
1. Kapalı Aralık
a ile b reel sayılar ve a < b olsun.
a ve b sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm reel sayıları içine alan küme,
[a, b] veya a £ x £ b , x ∈ R şeklinde gösterilir ve bu şekilde tanımlanan aralıklara kapalı aralık denir.
2. Açık Aralık
a, b ∈ R ve a < b olsun.
[a, b] kapalı aralığının uç noktalarının ikisi de bu aralıktan çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa açık aralık denir.
Açık aralık, x∈ R olmak üzere, (a, b) biçiminde ya da a < x < b biçiminde gösterilir .
3. Yarı Açık Aralık
a, b ∈ R ve a < b olsun.
[a, b] kapalı aralığının uç noktalarından biri çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa yarı açık aralık denir.
[a, b] kapalı aralığından b noktası çıkarılırsa [a, b) veya x ∈ R olmak üzere,
a £ x < b yarı açık aralığı elde edilir.
[a, b] kapalı aralığından a noktası çıkarılırsa (a, b] veya x ∈ R olmak üzere, a < x £ b yarı açık aralığı elde edilir.
[a, b] aralığının uzunluğu, b – a dır.
a
[a,c] = [a,b) ∪[b,c]
= [a,b] ∪(b,c]
= [a,b] ∪[b,c]