Modern matematiğin gelişimini herkesten çok etkileyen büyük Alman matematikçi. Bir düzlemdeki herhangi bir yalın bağlantılı bölgeyi, başka bir düzlemdeki bir yalın bağlantılı bölgeye dönüştürebilen bir fonksiyonun varlığını kanıtladı. Bu, analize topolojik yaklaşımlar getiren Riemann yüzeyi kuramına yol açtı. Riemann, topolojinin karmaşık fonksiyonlar kuramındaki merkezi önemini göstermiştir. Riemann, Fourier serisiyle tanımlanan fonksiyonların, sonsuz sayıda maksimum ve minimuma sahip olma gibi özellikleri olduğunu gösterdi. Eski matematikçiler, bir fonksiyon tanımında böyle bir özelliği kabul etmezdi. Derslerinde türevleri olmayan, sürekli bir fonksiyon örneğini verdi. Matematikçiler böyle fonksiyonları ciddiye almayı reddettiler ve onlara "hastalıklı fonksiyonlar" dediler. Ama modern analiz, böyle fonksiyonların çok doğal olduğunu ve Rieman'ın burada yeniden matematiğin temel bir alanına girmiş olduğunu gösterdi. Riemann ünlü çalışmasında geometrinin tmelindeki hipotezleri inceledi. Birleştirici ilkesi, hem var olan tüm geometri biçimlerinin (hala aydınlanmamış olan Öklitdışı geometriler dahil) sınıflandırmasını sağladı, hem de çoğu geometride ve matematiksel fizikse işe yarayan, istediği sayıda yeni türde uzay yaratmasına olanak tanıdı.