Matrisler
A. MATRİSİN TANIMI
şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna m ´ n türünde
(m tane satır ve n tane sütun) bir matris denir .
Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir.
elemanları, A matrisinin 1. satırını oluşturmaktadır.
elemanları, A matrisinin 3. sütununu oluşturmaktadır.
Burada aij genel terimi gösterir. i, satır numarası ve j, sütun numarasıdır.
Bu matrisin m kadar satırı, n kadar sütunu vardır .
B. MATRİS ÇEŞİTLERİ
1. Sıfır Matrisi
Bütün elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi denir.
2. Kare Matrisi
Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris denir.
A matrisi (4 ´ 4 boyutlu) 4 satırlı ve 4 sütunlu bir kare matristir.
3. Birim Matris
Bütün köşegen elemanları 1 ve diğer bütün elemanları sıfır olan kare matrislere birim matris denir ve birim matris I harfi ile gösterilir. Yandaki matris 4 ´ 4 boyutlu birim matristir.
C. MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ
Aynı türden iki matrisin, bütün aynı indisli terimleri eşit ise, bu matrisler eşittir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Yani, eşit iki matrisin, aynı indisli bütün terimleri eşittir .
D. MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)
Bir matrisin devriği (transpozu) satırların sütun, sütunların satır haline getirilmesiyle elde edilen matristir.
Bir A matrisinin transpozu AT ya da Ad biçimlerinden biri ile gösterilebilir.
E. MATRİSİN REEL SAYI İLE ÇARPIMI
Bir matris c gibi bir sayı ile çarpılınca matrisin bütün elemanları c ile çarpılır.
F. MATRİSLERİN TOPLAMI
Aynı türden matrisler toplanır. Bunun için, aynı indisli terimler toplanır.
G. MATRİSLERİN FARKI
Aynı türden matrisler çıkarılır. Bunun için, aynı indisli terimler çıkarılır.
Özellik
1. A + B = B + A (Değişme özelliği vardır .)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (Birleşme özelliği vardır.)
3. A + O = O + A = A (Sıfır matrisi toplamaya göre birim (etkisiz) elemandır.)
4. A + (–A) = O (–A matrisi A matrisinin toplamaya göre tersidir.)
5. (A + B)T = AT + BT
6. (A – B)T = AT – BT
7. k × (A + B) = k × A + k × B
8. k × (A – B) = k × A – k × B
9. (k + p) × A = k × A + p × A
10. k × (p × A) = (k × p) × A
H. İKİ MATRİSİN ÇARPIMI
A ve B matrislerinin çarpılabilmesi için A matrisinin sütun sayısı,
B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır.
m ´ n türünde A matrisi ile n ´ p türünde B matrisinin çarpımı m ´ p türünde olur.
Çarpma işlemi birinci matrisin satırları ile ikinci matrisin sütunları çarpılıp toplanarak yapılır.
Özellik
1. A × B ¹ B × A (Değişme özelliği yoktur. Ancak bazı özel durumlarda eşitlik olabilir.)
A × I = I × A
Am × An = Am + n
A–1 × A = A × A–1
2. A × (B × C) = (A × B) × C (Birleşme özelliği vardır.)
3. A × (B + C) = A × B + A × C
(B + C) × A = B × A + C × A
Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılma özelliği vardır.
4. A × B = O ise A = O veya B = O olması gerekmez.
5. A × I = I × A = A (I matrisi çarpmaya göre etkisiz elemandır.)
6. A × B = B ise A = I olması gerekmez .
7. (A × B)T = BT × AT
(A × B × C)T = CT × BT × AT
I. KARE MATRİSİN KUVVETİ
A bir kare matrisi I birim matris ve m, n pozitif tam sayı olmak üzere, matrisin kuvveti aşağıdaki biçimde ifade edilir.
Ayrıca,
olur.
Birim matrisin bütün kuvvetleri yine birim matristir.
şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna m ´ n türünde
(m tane satır ve n tane sütun) bir matris denir .
Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir.
elemanları, A matrisinin 1. satırını oluşturmaktadır.
elemanları, A matrisinin 3. sütununu oluşturmaktadır.
Burada aij genel terimi gösterir. i, satır numarası ve j, sütun numarasıdır.
Bu matrisin m kadar satırı, n kadar sütunu vardır .
B. MATRİS ÇEŞİTLERİ
1. Sıfır Matrisi
Bütün elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi denir.
2. Kare Matrisi
Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris denir.
A matrisi (4 ´ 4 boyutlu) 4 satırlı ve 4 sütunlu bir kare matristir.
3. Birim Matris
Bütün köşegen elemanları 1 ve diğer bütün elemanları sıfır olan kare matrislere birim matris denir ve birim matris I harfi ile gösterilir. Yandaki matris 4 ´ 4 boyutlu birim matristir.
C. MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ
Aynı türden iki matrisin, bütün aynı indisli terimleri eşit ise, bu matrisler eşittir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Yani, eşit iki matrisin, aynı indisli bütün terimleri eşittir .
D. MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)
Bir matrisin devriği (transpozu) satırların sütun, sütunların satır haline getirilmesiyle elde edilen matristir.
Bir A matrisinin transpozu AT ya da Ad biçimlerinden biri ile gösterilebilir.
E. MATRİSİN REEL SAYI İLE ÇARPIMI
Bir matris c gibi bir sayı ile çarpılınca matrisin bütün elemanları c ile çarpılır.
F. MATRİSLERİN TOPLAMI
Aynı türden matrisler toplanır. Bunun için, aynı indisli terimler toplanır.
G. MATRİSLERİN FARKI
Aynı türden matrisler çıkarılır. Bunun için, aynı indisli terimler çıkarılır.
Özellik
1. A + B = B + A (Değişme özelliği vardır .)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (Birleşme özelliği vardır.)
3. A + O = O + A = A (Sıfır matrisi toplamaya göre birim (etkisiz) elemandır.)
4. A + (–A) = O (–A matrisi A matrisinin toplamaya göre tersidir.)
5. (A + B)T = AT + BT
6. (A – B)T = AT – BT
7. k × (A + B) = k × A + k × B
8. k × (A – B) = k × A – k × B
9. (k + p) × A = k × A + p × A
10. k × (p × A) = (k × p) × A
H. İKİ MATRİSİN ÇARPIMI
A ve B matrislerinin çarpılabilmesi için A matrisinin sütun sayısı,
B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır.
m ´ n türünde A matrisi ile n ´ p türünde B matrisinin çarpımı m ´ p türünde olur.
Çarpma işlemi birinci matrisin satırları ile ikinci matrisin sütunları çarpılıp toplanarak yapılır.
Özellik
1. A × B ¹ B × A (Değişme özelliği yoktur. Ancak bazı özel durumlarda eşitlik olabilir.)
A × I = I × A
Am × An = Am + n
A–1 × A = A × A–1
2. A × (B × C) = (A × B) × C (Birleşme özelliği vardır.)
3. A × (B + C) = A × B + A × C
(B + C) × A = B × A + C × A
Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılma özelliği vardır.
4. A × B = O ise A = O veya B = O olması gerekmez.
5. A × I = I × A = A (I matrisi çarpmaya göre etkisiz elemandır.)
6. A × B = B ise A = I olması gerekmez .
7. (A × B)T = BT × AT
(A × B × C)T = CT × BT × AT
I. KARE MATRİSİN KUVVETİ
A bir kare matrisi I birim matris ve m, n pozitif tam sayı olmak üzere, matrisin kuvveti aşağıdaki biçimde ifade edilir.
Ayrıca,
olur.
Birim matrisin bütün kuvvetleri yine birim matristir.
11. Sınıf Konuları
- Determinantlar
- Matrisler